РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1608 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: III

Классификатор алгебры: 6\.5\. Тригонометрические уравнения вида f(x)=f(y)

Методы тригонометрии: Формулы приведения и периодичность

Тригонометрические уравнения

Найдите произведение наименьшего корня (в градусах) на количество различных корней уравнения $синус 5x= косинус 65 градусов$ на промежутке (−90°; 90°).

Решение. Воспользуемся формулой приведения и сведем уравнение к виду $синус x = синус y:$

$синус 5x= косинус 65 градусов равносильно синус 5x= косинус левая круглая скобка 90 градусов минус 25 градусов правая круглая скобка равносильно синус 5x= синус 25 градусов равносильно$

$равносильно совокупность выражений 5x=25 градусов плюс 360 градусов k,180 градусов минус 5x=25 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=5 градусов плюс 72 градусов k, минус 5x= минус 155 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=5 градусов плюс 72 градусов k,x=31 градусов плюс 72 градусов n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $равносильно совокупность выражений 5x=25 градусов плюс 360 градусов k,180 градусов минус 5x=25 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=5 градусов плюс 72 градусов k, минус 5x= минус 155 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=5 градусов плюс 72 градусов k,x=31 градусов плюс 72 градусов n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $равносильно совокупность выражений 5x=25 градусов плюс 360 градусов k,180 градусов минус 5x=25 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=5 градусов плюс 72 градусов k, минус 5x= минус 155 градусов плюс 360 градусов k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x=5 градусов плюс 72 градусов k,x=31 градусов плюс 72 градусов n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

Найдем корни уравнения на заданном промежутке с помощью двойных неравенств:

$минус 90 градусов меньше 5 градусов плюс 72 градусов k меньше 90 градусов равносильно минус 95 градусов меньше 72 градусов k меньше 85 градусов равносильно минус дробь: числитель: 95, знаменатель: 72 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: 85, знаменатель: 72 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k= минус 1,k=1, k=0; конец совокупности .$ $минус 90 градусов меньше 5 градусов плюс 72 градусов k меньше 90 градусов равносильно минус 95 градусов меньше 72 градусов k меньше 85 градусов равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 95, знаменатель: 72 конец дроби меньше k меньше дробь: числитель: 85, знаменатель: 72 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k= минус 1,k=1, k=0; конец совокупности .$

$минус 90 градусов меньше 31 градусов плюс 72 градусов n меньше 90 градусов равносильно минус 121 градусов меньше 72 градусов n меньше 59 градусов равносильно минус дробь: числитель: минус 121, знаменатель: 72 конец дроби меньше n меньше дробь: числитель: 59, знаменатель: 72 конец дроби \underset n принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений n= минус 1,n=0. конец совокупности .$ $минус 90 градусов меньше 31 градусов плюс 72 градусов n меньше 90 градусов равносильно минус 121 градусов меньше 72 градусов n меньше 59 градусов равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: минус 121, знаменатель: 72 конец дроби меньше n меньше дробь: числитель: 59, знаменатель: 72 конец дроби \underset n принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений n= минус 1,n=0. конец совокупности .$

Тем самым на заданном промежутке лежит пять корней: корни $5 градусов плюс 72 градусов умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 67 градусов,$ $5 градусов плюс 72 градусов умножить на 1=77 градусов$ и $5 градусов плюс 72 градусов умножить на 0=5 градусов$ из первой серии и корни $31 градусов плюс 72 градусов умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 41 градусов$ и $31 градусов плюс 72 градусов умножить на 0=31 градусов$ из второй. Наименьший из корней равен $минус 67 градусов,$ искомое произведение равно $5 умножить на левая круглая скобка минус 67 правая круглая скобка = минус 335.$

Ответ: −335.

Ответ: -335

1608

-335

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: III

Классификатор алгебры: 6\.5\. Тригонометрические уравнения вида f(x)=f(y)

Методы тригонометрии: Формулы приведения и периодичность

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1608	-335